Théorèmes de Sylow - Sous-groupe de Sylow

Définitions préliminaires

Définition :
On dit que $H\subset G$ est un $p$-Sylow si c'est un $p$-groupe de cardinal maximum : $$\begin{cases}\

G=p^\alpha n\\ \operatorname{pgcd}(n,p)=1\end{cases}\implies\quad\# H=p^\alpha$$

(P-groupe)

Théorèmes de Sylow

Premier théorème

Premier théorème de Sylow :

soit $p$ un nombre premier, $n$ un entier et $G$ un groupe fini
$p^n$ divise $\
G$

$$\Huge\iff$$

\)G$ possède au moins un $p$-Sylow d'ordre $p^n\(

Corollaire :
Théorème de Cauchy

Deuxième théorème

Deuxième théorème de Sylow :

soit \)G\( un groupe fini
soit \)H$ un $p$-Sylow d'ordre $p^n\(

$$\Huge\implies$$

\)\exists g\in G$ tel que $gHg^{-1}$ est un $p$-Sylow d'ordre $p^n$ de $G\(

Théorème de Sylow (1) :

soit \)G$ sous-groupe de $\overline G\( fini
soit \)\overline S$ un $p$-Sylow de $\overline G\(

$$\Huge\iff$$

alors il existe \)g\in G$ tel que $g\overline S g^{-1}\cap G$ est un $p$-Sylow de $G\(

Corollaire :
Tous les \)p$-Sylow de $G$ sont conjugués sous $G$, i.e. $$\exists g\in G,\qquad gSg^{-1}=S^\prime$$
Corollaire :
L'ensemble des $p$-Sylow de $G$ est un espace homogène sous $G$ qui agit par conjugaison
(Espace homogène)

Troisième théorème

Définition :
On note $n_p(G)=\#\operatorname{Syl}_p(G)$ le nombre de $p$-Sylow de $G$
Proposition :
$${{n_p(G)}}={{\

G/\# N_G(S)}}$$ avec $S$ un $p$-Sylow quelconque de $G$

(Normalisateur)

troisième théorème de Sylow :
$${{n_p(G)}}\equiv{{1}}\mod{ {{p}} }$$
(Ordre)

Propriétés

Liens avec la distinction

Proposition :
Si il n'y a qu'un seul $p$-Sylow dans un groupe $G$, alors il est distingué
(Groupe quotient - Sous-groupe distingué)

Dans un groupe abélien

Remarque :
Soit $G$ un groupe abélien
Alors $G$ admet un unique $p$-Sylow car la conjugaison est l'identité par commutativité

Math'φsics

Formulaire de report